Конспект урока однородные тригонометрические неравенства второй степени. Тема урока: Решение тригонометрических неравенств

Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации: Решение тригонометрических неравенств методом интервалов 10 А класс Учитель: Ускова Н.Н. МБОУ Лицей №60 Цели урока: Образовательные: расширение и углубление знаний по теме “Метод интервалов”; обретение практических навыков выполнения заданий, используя метод интервалов;повышение уровня математической подготовки школьников;Развивающие:развитие навыков исследовательской деятельности;Воспитательные:формирование наблюдательности, самостоятельности, способности к взаимодействию с другими людьмивоспитание культуры мышления, культуры речи, интереса к учебному предмету. Ход урока Проверка домашнего задания.Самостоятельная работа.Объяснение нового материала по теме «Решение тригонометрических неравенств методом интервалов»:алгоритм решения;примеры неравенств.Итоги урока.Домашнее задание. Проверка домашнего задания Решите неравенства: Самостоятельная работа Дополнительно: 1) 2) Проверка домашнего задания Решите неравенства:а) Решение. Ответ: б) Решение. Ответ: в) Решение. Ответ: г) Решение. Ответ: . Решить неравенство Решение. Ответ: Пример 1. Решить неравенство методом интервалов Решение. 1) 2) Нули функции: 3) Знаки функции на интервалах: + - + - + 4) Так как неравенство нестрогое, то корни включаются 5) Решение: Ответ: Пример 2. Решить неравенство: Решение. Ответ: I способ: II способ: Ответ: Решение тригонометрических неравенств методом интервалов Алгоритм:С помощью тригонометрических формул разложить на множители.Найти точки разрыва и нули функции, поставить их на окружность.Взять любую точку x0 (но не найденную ранее) и выяснить знак произведения. Если произведение положительно, то поставить «+» за единичной окружностью на луче, соответствующему углу. Иначе поставить знак «-» внутри окружности.Если точка встречается четное число раз, назовем ее точкой четной кратности, если нечетное число раз – точкой нечетной кратности. Провести дуги следующим образом: начать с точки x0 , если следующая точка нечетной кратности, то дуга пересекает окружность в этой точке, если же точка четной кратности, то не пересекает.Дуги за окружностью – положительные промежутки; внутри окружности – отрицательные промежутки. Решение примеров 1) 2) 3) 4) 5) Пример 1. Решение. Точки первой серии: Точки второй серии: - - - + + + Ответ: Пример 2. Решение. Точки первой серии: Точки второй серии: Точки третей серии: Точки четвертой серии: Точки четной кратности: + + + + - - - - Ответ: Пример 3. Решение. Итого: Точки первой серии: Точки второй серии: Точки третей серии: + + + + + + - - - - - - - - Ответ. Точки четной кратности: Пример 4. Решение. + + + + - - - - Ответ. Пример 5. Решение. 1) 2) Нули функции: 3) + - - + - нулей нет Итак, при Ответ: Графически: Домашнее задание: Решить тригонометрические неравенства методом интервалов:а)б) в) г)д) е)ж) Дополнительные задания:

Приложенные файлы

Тригонометрические неравенства. Решение простейших тригонометрических неравенств

Оборудование: ПК, проектор, экран, доска для маркеров.

Тип занятия: Изучение нового материала.

Тема занятия: Тригонометрические неравенства. Решение простейших тригонометрических неравенств.

Цели:

Образовательная цель:

сформировать навык решения простейших тригонометрических неравенств, используя графический метод решения неравенств;

познакомить студентов с основоположниками тригонометрии и историей ее развития.

Развивающая цель:

обеспечить условия для развития умений анализировать, выделять главное, устанавливать единые общие признаки и свойства;

применять знания на практике;

учиться критически оценивать свои знания.

Воспитательная цель:

воспитывать положительное отношение к знаниям;

воспитывать дисциплинированность и добросовестность при выполнении заданий;

воспитывать умение работать в парах (чувствовать индивидуальную ответственность за достижение результата).

Задачи:

повторить следующие темы по математике: решение квадратных неравенств графическим способом, преобразование графиков тригонометрических функций, понятие arcsin , arccos , arctg и arcctg числа, решение тригонометрических уравнений;

научить применять графический метод для решения простейших тригонометрических неравенств;

отработать навыки построения графиков тригонометрических функций;

расширить кругозор студентов об истории развития Тригонометрии;

для активизации познавательной деятельности студентов применять различные формы и методы работы на занятии: фронтальная, индивидуальная и групповая (работа в парах) формы работы, использование игровых технологий.

Структура занятия:

Организационный момент, проверка домашнего задания (5 мин.);

Актуализация опорных знаний и фиксация затруднений в деятельности (10 мин.);

Объяснение нового материала (15 мин.);

Экспертная работа (10 мин.);

Самостоятельная работа в парах (15 мин.);

Домашнее задание (5 мин.);

Игра «Поле чудес» (15 мин.);

Рефлексия деятельности (итог урока) (5 мин.).

Пояснение к занятию: во время занятия студенты выставляют баллы в Рабочую карту занятия согласно правилам, описанным в данной карте. В конце занятия подводится итог работы студентов по количеству набранных баллов.

Ход занятия:

Организационный момент, проверка домашнего задания (5 мин.) .

Французский писатель Анатоль Франс однажды заметил: «Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом.».

Давайте сегодня на занятии будем следовать этому совету писателя, будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием.

Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте проверим домашнее задание на сегодня.

Проверка домашнего задания:

№ 151 (2, 4), № 153 (2), № 155 (2), № 157 (2)

За каждое правильно выполненное задание – 1 балл в рабочую карту занятия в колонку «Домашняя работа».

Актуализация опорных знаний и фиксация затруднений в деятельности (10 мин.).

Тема нашего занятия – Тригонометрические неравенства. Решение простейших тригонометрических неравенств.

Давайте запишем дату и тему занятия в тетрадь.

Перед Вами на сегодня стоит задача – научиться применять свои знания и умения для решения тригонометрических неравенств.

Давайте сначала поработаем устно, чтобы вспомнить те понятия и приемы, которые нам понадобятся для изучения новой темы.

Устная работа:

Объяснение нового материала (10 мин.).

Если вспомнить определение тригонометрического уравнения – это уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрической функции, тогда легко можно дать определение тригонометрического неравенства – это неравенство, содержащие переменную под знаком тригонометрической функции .

Для решения тригонометрических неравенств мы будем использовать графический метод.

Рассмотрим решение неравенства

Построим графики функций:
,
.

Определим точки пересечения данных графиков:

Заштрихуем область, при которой значения функции
больше

, если

Так как функция
периодическая (Т=
), значит,
,

Аналогично рассматривается решение неравенства

Ответ:
,

Экспертная работа (10 мин.).

К доске приглашаются студенты, хорошо разобравшиеся в материале и желающие ответить у доски, они будут выступать в роли экспертов, остальные студенты могут поправлять их решение по мере надобности с места.

Решить неравенства:

1.
Ответ:
,

2.
Ответ:
,

За работу у доски студенты получают 1-3 балла, за работу с места 1 балл.

Самостоятельная работа в парах (15 мин.).

Студенты выполняют задание, обмениваются тетрадями и проверяют работу соседа по парте, выставляя соответствующие баллы, ответы представлены на доске.

Для решения тригонометрических неравенств графическим способом можно использовать Приложение № 1 к данному занятию.

Вариант № 1

Решить неравенства:

Вариант № 2

Решить неравенства:

1.

Ответ:

Ответ:

Ответ:

Ответ:

Ответ: решений нет, т. к.

Ответ: решений нет, т. к.

Ответ:

Ответ:

За каждое верное задание №1-№3-1 балл, № 4 – 2 балла.

Подведение итогов изучения новой темы. Студентам необходимо ответить на вопросы преподавателя.

Какой метод мы использовали для решения тригонометрических неравенств?

Что необходимо предпринять, чтобы решить тригонометрическое неравенство графическим способом?

Как влияет периодичность тригонометрических функций на ответ при решении тригонометрических неравенств?

За каждый правильный ответ студенты получают 1 балл в рабочую карту занятия в колонку «Устная работа».

Домашнее задание (5 мин.).

Сборник задач по математике Н.В. Богомолов

Дополнительное задание:

Игра «Поле чудес» (20 мин.).

Игра построена по принципу одноименной телевизионной игры. Преподаватель читает задание, студенты могут открыть любую букву, если выполнят скрытое в данной ячейке задание.

За каждую угаданную букву (решенное задание) студенты получают 1 балл, за отгаданное слово – 5 баллов.

Задание № 1

Ответ: Тригонометрия

Рефлексия деятельности (итог урока) (5 мин.).

Рабочая карта занятия

Студента _________________________________ группы « »

о/т- оценка товарища, о/у- оценка учителя, с/о – самооценка, о/г-оценка группы

Домашняя работа

с/о

Общее количество баллов, по 1 за каждое правильно выполненное задание.

Итог: _____

Устная работа

с/о

Общее количество баллов, по 1 за каждый правильный ответ и дополнительный балл за ответ по теории.

Итог: _____

Экспертная

работа (работа у доски)

о/г

1-3 балла за работу у доски,

1 балл за работу с места.

Итог: _____

Самостоятельная

работа в парах

о/т

За каждое верное задание

№1-№3-1 балл,

№ 4 – 2 балла.

Итог: _____

Игра «Поле чудес»

с/о

Общее количество баллов, по 1 за каждый правильный ответ и дополнительный балл за отгадывание слова.

На практическом занятии мы повторим основные типы заданий из темы «Тригонометрия» , дополнительно разберем задачи повышенной сложности и рассмотрим примеры решения различных тригонометрических неравенств и их систем .

Данный урок поможет Вам подготовиться к одному из типов заданий В5, В7, С1 и С3 .

Подготовка к ЕГЭ по математике

Эксперимент

Урок 11. Закрепление пройденного материала. Тригонометрические неравенства. Решение различных задач повышенной сложности

Практика

Конспект урока

Повторение тригонометрии

Начнем с повторения основных типов заданий, которые мы рассмотрели в теме «Тригонометрия» и решим несколько нестандартных задач.

Задача №1 . Выполнить перевод углов в радианы и градусы: а) ; б) .

а) Воспользуемся формулой перевода градусов в радианы

Подставим в нее указанное значение .

б) Применим формулу перевода радиан в градусы

Выполним подстановку .

Ответ. а) ; б) .

Задача №2 . Вычислить: а) ; б) .

а) Поскольку угол далеко выходит за рамки табличного, уменьшим его с помощью вычитания периода синуса. Т. к. угол указан в радианах, то и период будем рассматривать как .

б) В данном случае ситуация аналогичная. Поскольку угол указан в градусах, то и период тангенса будем рассматривать как .

Полученный угол хоть и меньше периода, но больше , а это значит, что он относится уже не к основной, а к расширенной части таблицы. Чтобы не тренировать лишний раз свою память запоминанием расширенной таблицы значений тригофункций, вычтем период тангенса еще раз:

Воспользовались нечетностью функции тангенс.

Ответ. а) 1; б) .

Задача №3 . Вычислить , если .

Приведем все выражение к тангенсам, разделив числитель и знаменатель дроби на . При этом, можем не бояться, что , т. к. в таком случае значения тангенса не существовало бы.

Задача №4 . Упростить выражение .

Указанные выражения преобразовываются с помощью формул приведения. Просто они непривычно записаны с использованием градусов. Первое выражение вообще представляет собой число. Упростим все тригофункции по очереди:

Т. к. , то функция меняется на кофункцию, т. е. на котангенс, и угол попадает во вторую четверть, в которой у исходного тангенса знак отрицательный.

По тем же причинам, что и предыдущем выражении, функция меняется на кофункцию, т. е. на котангенс, а угол попадает в первую четверть, в которой у исходного тангенса знак положительный.

Подставим все в упрощаемое выражение:

Задача №5 . Упростить выражение .

Распишем тангенс двойного угла по соответствующей формуле и упростим выражение:

Последнее тождество является одной из формул универсальной замены для косинуса.

Задача №6 . Вычислить .

Главное, это не сделать стандартной ошибки и не дать ответ, что выражение равно . Воспользоваться основным свойством арктангенса нельзя пока возле него присутствует множитель в виде двойки. Чтобы от него избавиться распишем выражение по формуле тангенса двойного угла , при этом относимся к , как к обыкновенному аргументу.

Теперь уже можно применять основное свойство арктангенса, вспомним, что на его численный результат ограничений нет.

Задача №7 . Решить уравнение .

При решении дробного уравнения, которое приравнивается к нулю, всегда указывается, что числитель равен нулю, а знаменатель нет, т. к. на ноль делить нельзя.

Первое уравнение представляет собой частный случай простейшего уравнения, которое решается с помощью тригонометрической окружности. Вспомните самостоятельно этот способ решения. Второе неравенство решается как простейшее уравнение по общей формуле корней тангенса, но только с записью знака неравно.

Как видим, одно семейство корней исключает другое точно такое же по виду семейство не удовлетворяющих уравнению корней. Т. е. корней нет.

Ответ. Корней нет.

Задача №8 . Решить уравнение .

Сразу заметим, что можно вынести общий множитель и проделаем это:

Уравнение свелось к одной из стандартных форм, когда произведение нескольких множителей равно нулю. Мы уже знаем, что в таком случае или один из них равен нулю или другой, или третий. Запишем это в виде совокупности уравнений:

Первые два уравнения являются частными случаями простейших, с подобными уравнениями мы уже многократно встречались, поэтому сразу укажем их решения. Третье уравнение приведем к одной функции с помощью формулы синуса двойного угла.

Решим отдельно последнее уравнение:

Данное уравнение не имеет корней, т. к. значение синуса не могут выходить за пределы .

Таким образом, решением является только два первых семейства корней, их можно объединить в одно, что легко показать на тригонометрической окружности:

Это семейство всех половин , т. е.

Тригонометрические неравенства

Перейдем к решению тригонометрических неравенств. Сначала разберем подход к решению примера без использования формул общих решений, а с помощью тригонометрической окружности.

Задача №9 . Решить неравенство .

Изобразим на тригонометрической окружности вспомогательную линию, соответствующую значению синуса равному , и покажем промежуток углов, удовлетворяющих неравенству.

Очень важно понять, как именно указывать полученный промежуток углов, т. е. что является его началом, а что концом. Началом промежутка будет угол, соответствующей точке, в которую мы войдем в самом начале промежутка, если будем двигаться против часовой стрелки. В нашем случае это точка, которая находится слева, т. к. двигаясь против часовой стрелки и проходя правую точку, мы наоборот выходим из необходимого промежутка углов. Правая точка будет, следовательно, соответствовать концу промежутка.

Теперь необходимо понять значения углов начала и конца нашего промежутка решений неравенства. Типичная ошибка - это указать сразу, что правой точке соответствует угол , левой и дать ответ . Это неверно! Обратите внимание, что мы только что указали промежуток, соответствующий верхней части окружности, хотя нас интересует нижняя, иными словами, мы перепутали начало и конец необходимого нам интервала решений.

Чтобы интервал начинался с угла правой точки, а заканчивался углом левой точки, необходимо, чтобы первый указанный угол был меньше второго. Для этого угол правой точки нам придется отмерять в отрицательном направлении отсчета, т. е. по часовой стрелке и он будет равен . Тогда, начиная движение с него в положительном направлении по часовой стрелке, мы попадем в правую точку уже после левой точки и получим для нее значение угла . Теперь начало промежутка углов меньше конца , и мы можем записать промежуток решений без учета периода:

Учитывая, что такие промежутки будут повторяться бесконечное количество раз после любого целого количества поворотов, получим общее решение с учетом периода синуса :

Круглые скобки ставим из-за того, что неравенство строгое, и точки на окружности, которые соответствуют концам промежутка, мы выкалываем.

Сравните полученный ответ с формулой общего решения, которую мы приводили на лекции.

Ответ..

Указанный способ хорош для понимания того, откуда берутся формулы общих решений простейших тригонеравенств. Кроме того, он полезен для тех, кому лень учить все эти громоздкие формулы. Однако сам по себе способ тоже непростой, выберете, какой подход к решению вам наиболее удобен.

Для решения тригонометрических неравенств можно использовать и графики функций, на которых строится вспомогательная линия аналогично показанному способу с использованием единичной окружности. Если вам интересно, попробуйте самостоятельно разобраться с таким подходом к решению. В дальнейшем будем использовать общие формулы для решения простейших тригонометрических неравенств.

Задача №10 . Решить неравенство .

Воспользуемся формулой общего решения с учетом того, что неравенство нестрогое:

Получаем в нашем случае:

Ответ.

Задача №11 . Решить неравенство .

Воспользуемся формулой общего решения для соответствующего строго неравенства:

Ответ..

Задача №12 . Решить неравенства: а) ; б) .

В указанных неравенствах не надо спешить использовать формулы общих решений или тригонометрическую окружность, достаточно просто вспомнить об области значений синуса и косинуса.

а) Поскольку , то неравенство не имеет смысла. Следовательно, решений нет.

б) Т. к. аналогично , то синус от любого аргумента всегда удовлетворяет указанному в условии неравенству . Следовательно неравенству удовлетворяют все действительные значения аргумента .

Ответ. а) решений нет; б) .

Задача 13 . Решить неравенство .

Это простейшее неравенство со сложным аргументом решается аналогично подобному уравнению. Сначала находим решение для всего указанного в скобках аргумента целиком, а потом преобразовываем его к виду «», работая с обоими концами промежутка, как с правой частью уравнения.

Тема «Тригонометрические неравенства» является объективно сложной для восприятия и осмысления учащимися 10 класса. Поэтому очень важно последовательно, от простого к сложному формировать понимание алгоритма и вырабатывать устойчивый навык решения тригонометрических неравенств.

В статье представлен алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств и приведен конспект урока, на котором осваиваются более сложные типы тригонометрических неравенств.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Щалпегина И.В.

Тема «Тригонометрические неравенства» является объективно сложной для восприятия и осмысления учащимися 10 класса. Поэтому очень важно последовательно, от простого к сложному формировать понимание алгоритма и вырабатывать устойчивый навык решения тригонометрических неравенств.

Успех освоения данной темы зависит от знания основных определений и свойств тригонометрических и обратных тригонометрических функций, знания тригонометрических формул, умения решать целые и дробно-рациональные неравенства, основные виды тригонометрических уравнений.

Особый упор нужно делать на методике обучения решения простейших тригонометрических неравенств, т.к. любое тригонометрическое неравенство сводится к решению простейших неравенств.

Первичное представление о решении простейших тригонометрических неравенств предпочтительно вводить, используя графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса. И только после учить решать тригонометрические неравенства на окружности.

Остановлюсь на основных этапах рассуждения при решении простейших тригонометрических неравенств.

1. Находим на окружности точки, синус (косинус) которых равен данному числу.
2. В случае строгого неравенства отмечаем на окружности эти точки, как выколотые, в случае нестрогого – как заштрихованные.
3. Точку, лежащую на главном промежутке монотонности функции синус (косинус), называем Р t1, другую точку – Р t2 .
4. Отмечаем по оси синусов (косинусов) промежуток, удовлетворяющий данному неравенству.
5. Выделяем на окружности дугу, соответствующую данному промежутку.
6. Определяем направление движения по дуге (от точки Р t1 к точке Р t2 по дуге ), изображаем стрелку по направлению движения, над которой пишем знак «+» или «-» в зависимости от направления движения. (Этот этап важен для контроля найденных углов. Ученикам можно проиллюстрировать распространенную ошибку нахождения границ интервала на примере решения неравенства по графику синуса или косинуса и по окружности ).
7. Находим координаты точек Р t1 (как арксинус или арккосинус данного числа) и Р t2 т.е. границы интервала, контролируем правильность нахождения углов, сравнивая t 1 и t 2.
8. Записываем ответ в виде двойного неравенства (или промежутка) от меньшего угла до большего.

Рассуждения при решении неравенств с тангенсом и котангенсом аналогичны.

Рисунок и запись решения, которые должны быть отражены в тетради у учеников, приведены в предлагаемом конспекте.

Конспект урока по теме: «Решение тригонометрических неравенств».

Задача урока – продолжить изучение решения тригонометрических неравенств, содержащих функции синус и косинус, перейти от простейших неравенств к более сложным.

Цели урока:

1. закрепление знаний тригонометрических формул, табличных значений тригонометрических функций, формул корней тригонометрических уравнений;
2. формирование навыка решения простейших тригонометрических неравенств;
3. освоение приёмов решения более сложных тригонометрических неравенств;
4. развитие логического мышления, смысловой памяти, навыков самостоятельной работы, самопроверки;
5. воспитание аккуратности и чёткости в оформлении решения, интереса к предмету, уважения к одноклассникам.
6. формирование учебно-познавательных, информационных, коммуникативных компетенций.

Оборудование: графопроектор, раздаточные карточки с готовыми чертежами тригонометрических кругов, переносная доска, карточки с домашним заданием.

Форма организации обучения – урок. Методы обучения, используемые на уроке – словесные, наглядные, репродуктивные, проблемно-поисковые, индивидуального и фронтального опроса, устного и письменного самоконтроля, самостоятельной работы.

Самостоятельная работа

по результатам освоения материала.