Как выглядит гипербола. Разбираемся с магией гиперболы

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек иесть величина постоянная, меньшая расстояниямежду этими заданными точками (рис.3.40,а). Это геометрическое определение выражаетфокальное свойство гиперболы .

Фокальное свойство гиперболы

Точки иназываются фокусами гиперболы, расстояниемежду ними - фокусным расстоянием, серединаотрезка- центром гиперболы, число- длиной действительной оси гиперболы (соответственно,- действительной полуосью гиперболы). Отрезкии, соединяющие произвольную точкугиперболы с ее фокусами, называются фокальными радиусами точки. Отрезок, соединяющий две точки гиперболы, называется хордой гиперболы.

Отношение , где, называетсяэксцентриситетом гиперболы . Из определения следует, что.

Геометрическое определение гиперболы , выражающее ее фокальное свойство, эквивалентно ее аналитическому определению - линии, задаваемой каноническим уравнением гиперболы:

Действительно, введем прямоугольную систему координат (рис.3.40,б). Центр гиперболы примем за начало системы координат; прямую, проходящую через фокусы (фокальную ось), примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точкик точке); прямую, перпендикулярную оси абсцисс и проходящую через центр гиперболы, примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координатоказалась правой).

Составим уравнение гиперболы, используя геометрическое определение, выражающее фокальное свойство. В выбранной системе координат определяем координаты фокусов и. Для произвольной точки, принадлежащей гиперболе, имеем:

Записывая это уравнение в координатной форме, получаем:

Выполняя преобразования, аналогичные преобразованиям, используемым при выводе уравнения эллипса (т.е. избавляясь от иррациональности), приходим к каноническому уравнению гиперболы:

где , т.е. выбранная система координат является канонической.

Проводя рассуждения в обратном порядке, можно показать, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (3.50), и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому гиперболой. Таким образом, аналитическое определение гиперболы эквивалентно его геометрическому определению.

Директориальное свойство гиперболы

Директрисами гиперболы называются две прямые, проходящие параллельно оси ординат канонической системы координат на одинаковом расстоянии от нее (рис.3.41,а). При, когда гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых, директрисы совпадают.

Гиперболу с эксцентриситетом можно определить, как геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки(фокуса) к расстоянию до заданной прямой(директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету(директориальное свойство гиперболы ). Здесь и- один из фокусов гиперболы и одна из ее директрис, расположенные по одну сторону от оси ординат канонической системы координат.

В самом деле, например, для фокуса и директрисы(рис.3.41,а) условиеможно записать в координатной форме:

Избавляясь от иррациональности и заменяя , приходим к каноническому уравнению гиперболы (3.50). Аналогичные рассуждения можно провести для фокусаи директрисы:

Уравнение гиперболы в полярной системе координат

Уравнение правой ветви гиперболы в полярной системе координат (рис.3.41,б) имеет вид

, где -фокальный параметр гиперболы .

В самом деле, выберем в качестве полюса полярной системы координат правый фокус гиперболы, а в качестве полярной оси - луч с началом в точке, принадлежащий прямой, но не содержащий точки(рис.3.41,б). Тогда для произвольной точки, принадлежащей правой ветви гиперболы, согласно геометрическому определению (фокальному свойству) гиперболы, имеем. Выражаем расстояние между точкамии(см. пункт 2 замечаний 2.8):

Следовательно, в координатной форме уравнение гиперболы имеет в

Уединяем радикал, возводим обе части уравнения в квадрат, делим на 4 и приводим подобные члены:

Выражаем полярный радиус и делаем замены:

что и требовалось доказать. Заметим, что в полярных координатах уравнения гиперболы и эллипса совпадают, но описывают разные линии, поскольку отличаются эксцентриситетами (для гиперболы,для эллипса).

Геометрический смысл коэффициентов в уравнении гиперболы

Найдем точки пересечения гиперболы (рис.3.42,а) с осью абсцисс (вершины гиперболы). Подставляя в уравнение , находим абсциссы точек пересечения:. Следовательно, вершины имеют координаты. Длина отрезка, соединяющего вершины, равна. Этот отрезок называется действительной осью гиперболы, а число- действительной полуосью гиперболы. Подставляя, получаем. Длина отрезка оси ординат, соединяющего точки, равна. Этот отрезок называется мнимой осью гиперболы, а число- мнимой полуосью гиперболы. Гипербола пересекает прямую, содержащую действительную ось, и не пересекает прямую, содержащую мнимую ось.

Замечания 3.10.

1. Прямые ограничивают на координатной плоскости основной прямоугольник, вне которого находится гипербола (рис.3.42,а).

2. Прямые , содержащие диагонали основного прямоугольника, называются асимптотами гиперболы (рис.3.42,а).

Для равносторонней гиперболы , описываемой уравнением (т.е. при), основной прямоугольник является квадратом, диагонали которого перпендикулярны. Поэтому асимптоты равносторонней гиперболы также перпендикулярны, и их можно взять в качестве координатных осей прямоугольной системы координат(рис.3.42,б). В этой системе координат уравнение гиперболы имеет вид(гипербола совпадает с графиком элементарной функции, выражающей обратно-пропорциональную зависимость).

В самом деле, повернем каноническую систему координат на угол (рис.3.42,б). При этом координаты точки в старой и новой системах координат связаны равенствами

Подставляя эти выражения в уравнение равносторонней гиперболы и приводя подобные члены, получаем

3. Координатные оси (канонической системы координат) являются осями симметрии гиперболы (называются главными осями гиперболы), а ее центр - центром симметрии. Действительно, если точка принадлежит гиперболе. то и точкии, симметричные точкеотносительно координатных осей, также принадлежат той же гиперболе.

Ось симметрии, на которой располагаются фокусы гиперболы, является фокальной осью.

4. Из уравнения гиперболы в полярных координатах (см. рис.3.41,б) выясняется геометрический смысл фокального параметра - это половина длины хорды гиперболы, проходящей через ее фокус перпендикулярно фокальной оси (при).

5. Эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Чем больше, тем шире ветви гиперболы, а чем ближек единице, тем ветви гиперболы уже (рис.3.43,а).

Действительно, величина угла между асимптотами гиперболы, содержащего ее ветвь, определяется отношением сторон основного прямоугольника:. Учитывая,чтои, получаем

Чем больше , тем больше угол. Для равносторонней гиперболыимееми. Дляуголтупой, а дляуголострый (рис.3.43,а).

6 . Две гиперболы, определяемые в одной и той же системе координат уравнениями иназываютсясопряженными друг с другом . Сопряженные гиперболы имеют одни и те же асимптоты (рис.3.43,б). Уравнение сопряженной гиперболы приводится к каноническому при помощи переименования координатных осей (3.38).7. Уравнение определяет гиперболу с центром в точке, оси которой параллельны координатным осям (рис.3.43,в). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36). Уравнениеопределяет сопряженную гиперболу с центром в точке.

Параметрическое уравнение гиперболы

Параметрическое уравнение гиперболы в канонической системе координат имеет вид

где - гиперболический косинус, aгиперболический синус.

Действительно, подставляя выражения координат в уравнение (3.50), приходим к основному гиперболическому тождеству .

Пример 3.21. Изобразить гиперболу в канонической системе координат. Найти полуоси, фокусное расстояние, эксцентриситет, фокальный параметр, уравнения асимптот и директрис.

Решение. Сравнивая заданное уравнение с каноническим, определяем полуоси: - действительная полуось,- мнимая полуось гиперболы. Строим основной прямоугольник со сторонамис центром в начале координат (рис.3.44). Проводим асимптоты, продлевая диагонали основного прямоугольника. Строим гиперболу, учитывая ее симметричность относительно координатных осей. При необходимости определяем координаты некоторых точек гиперболы. Например, подставляяв уравнение гиперболы, получаем

Следовательно, точки с координатами ипринадлежат гиперболе. Вычисляем фокусное расстояние

эксцентриситет ; фокальныи параметр. Составляем уравнения асимптот, то есть, и уравнения директрис:.

Парабола и её каноническое уравнение

Определение. Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, не проходящей через фокус и называемой директрисой.

Определение. Расстояние от фокуса параболы до её директрисы называется параметром параболы. Эксцентриситет параболы принимается равным единице.

Опустим из фокуса перпендикуляр на директрисуи точку пересечения этого перпендикуляра с директрисой параболы обозначим буквой. Введём на плоскости ДПСК, поместив начало координатв центре отрезка, принимая за осьпрямую, с положительным направлением отк(См. рис.176).

Расстояние от фокусадо директрисыобозначим буквой(это параметр параболы). В выбранной системе координат фокусимеет координаты. Уравнение директрисы.

Пусть - произвольная точка плоскости. Обозначим черезрасстояниеот точкидо фокусапараболы, а через- расстояниеот точкидо директрисы этой параболы.

Точка лежит на данной параболе тогда и

только тогда, когда . Так как,

а , то уравнение параболы имеет вид:

. Это уравнение эквивалентно следующему уравнению: .

Или: (1)

Определение. Уравнение (1) называется каноническим уравнением параболы.

Определение 1

Гипербола в математике – это множество всех точек на плоскости, для любой из которых абсолютная разность расстояния между двумя точками $F_1$ и $F_2$, называемыми фокусами, всегда равна одному и тому же значению и равна $2a$.

Рисунок 1. Как выглядит гипербола: пример гиперболы

Свойства гиперболы

• Если точки $F_1$ и $F_2$ являются фокусами гиперболы, то касательная, проведённая через любую точку $A$, принадлежащую кривой, является биссектрисой угла $F_1AF_2$;
• Отношение расстояний от точки на гиперболе до фокуса и от этой же точки до директрисы – это константа, называемая эксцентриситетом $ε$;
• Гиперболе свойственна зеркальная симметричность относительно действительной и мнимой осей, а также вращательная к центру при повороте на 180°;
• Ограниченный действительными осями отрезок касательной, проведённой через точку $M$, делится пополам точкой $M$;
• У каждой гиперболы есть сопряжённая гипербола, которая располагается в незанятых четвертях графика.

Основные определения

• Ветви гиперболы – это две непересекающиеся кривые;
• Вершинами гиперболы называются две ближайшие точки на разных ветвях гиперболы;
• Формула для определения расстояния между вершинами гиперболы выглядит как $2\cdot a$;
• Большой действительной осью называется прямая, проложенная через две ближайшие точки на гиперболе. На половине этого расстояния расположен центр гиперболы;
• Полуосями гиперболы называется половина расстояния между вершинами гиперболы, формула для его определения $2\cdot a/2 = a$;
• Мнимая ось – это прямая, проложенная через центр гиперболы и перпендикулярная действительной оси;
• Геометрическое построение гиперболы производится по заданным вершинам и фокусам с помощью циркуля.

Уравнение гиперболы

Общая формула гиперболы и функция гиперболы описывается следующим уравнением: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, где $a, b$ - положительные действительные числа.

Уравнение вырожденной гиперболы выглядит как уравнение двух асимтот к гиперболе: $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$

Уравнение гиперболы со смещенным центром $\frac{(x - x_0)^2}{a^2} - \frac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1$, где $x_0, y_0$ - координаты центра гиперболы.

Для нахождения уравнения смещенной гиперболы по графику сначала определяют смещение центра относительно оси координат, оно равно координатам центра. Затем по асимтоптам определяют значения $a$ и $b$.

Здравствуйте, уважаемые читатели блога сайт. Все мы в жизни хоть раз говорили или слышали подобные выражение (а кто-то и не раз): ВЕЧНО ОПАЗДЫВАЕТЕ или СТО ЛЕТ НЕ ВИДЕЛИСЬ.

И мало кто задумывался, что эти фразы лишены какого-то здравого смысла. Так, человек просто не может «вечно опаздывать». И не может кто-то не видиться «сто лет», хотя бы потому, что люди редко так долго живут.

Подобные преувеличения в русском языке называются гиперболами и именно о них пойдет речь в этой публикации.

Гипербола - это красивое преувеличение

Само это слово греческое – «hyperbole» и обозначает оно «чрезмерность, избыток, преувеличение».

Гипербола – это одно из средств усиления эмоциональной оценки , заключающееся в чрезмерном преувеличении каких-либо явлений, качеств, свойств или процессов. Благодаря этому создается более впечатляющий образ.

Причем часто преувеличение доходит до совершенно непостижимых понятий, иногда даже . Любой иностранец, если будет переводить дословно, будет явно озадачен. Мы же давно к ним привыкли, и воспринимаем их как совершенно нормальные.

Вот примеры наиболее часто используемых в обиходе гипербол:

НАПУГАТЬ ДО СМЕРТИ
ТЫСЯЧА ИЗВИНЕНИЙ
ХОТЬ ЗАЛЕЙСЯ
РЕКИ КРОВИ
ГОРЫ ТРУПОВ
ЖДУ ЦЕЛУЮ ВЕЧНОСТЬ
ЕХАТЬ ЗА ТЫСЯЧУ КИЛОМЕТРОВ
ВЕСЬ ДЕНЬ ПРОСТОЯЛА
КУЧА ДЕНЕГ
ПИР НА ВЕСЬ МИР
МОРЕ СЛЕЗ
НЕ ВИДЕЛИСЬ 100 ЛЕТ
ОКЕАН СТРАСТЕЙ
ВЕСИТ СТО ПУДОВ
ЗАДУШИТЬ В ОБЪЯТЬЯХ
ИСПУГАТЬСЯ ДО СМЕРТИ

Все перечисленные выражения мы постоянно используем в разговорной речи. И ради эксперимента просто попробуйте разобрать их дословно и увидите, насколько некоторые из них смешны, а порой и абсурдны.

Ну, например, «хоть залейся» — это должно быть такое количество жидкости, чтобы ее хватило на целый бассейн, в который можно было бы погрузиться с головой. Хотя на самом деле мы этим выражением просто хотим сказать, что напитков у нас много — даже больше чем нужно.

Или фраза «куча денег» на самом ведь деле обозначает просто хорошее финансовое состояние, а не то, что человек собрал все свои сбережения и давай их складывать в одну кучу.

А выражение «ехать за тысячу километров» мы употребляем, ни когда речь идет о реальном расстоянии, например, от Москвы до Волгограда или Ростова-на-Дону. А просто в значении «далеко», хотя на самом деле в реальных цифрах там расстояние может быть всего в несколько километров.

И так можно «развенчать» абсолютно любую гиперболу. Но делать этого не стоит. Они и не должны означать абсолютную правду, их задача – наиболее живописно охарактеризовать конкретную ситуацию или мысль, усиливая ее эмоциональный окрас .

Примеры гипербол в художественной литературе

На самом деле подобные преувеличения – это очень старый литературный прием. Он использовался , а это было без малого тысячу лет назад. С помощью гипербол многократно усиливали силу богатырей и их противников.

Сон богатырский длился 12 ДНЕЙ (ну не может человек спать почти две недели)

На пути богатыря стояли силы несметные – ВОЛК ИХ ЗА ДЕНЬ НЕ ОБЕЖИТ, ВОРОН ЗА ДЕНЬ НЕ ОБЛЕТИТ (это сколько врагов должно быть – миллион?)

Махнет богатырь рукой – СРЕДИ ВРАГОВ УЛИЦА, махнет другой – ПЕРЕУЛОК (то есть одним ударом богатырь убивает сразу несколько десятков)

Взял Илья Муромец палицу ВЕСОМ СТО ПУДОВ (тут надо понимать, что сто пудов – это полторы тонны)

Соловей-разбойник свистит – ЛЕС К ЗЕМЛЕ КЛОНИТСЯ, а ЛЮДИ МЕРТВЫМИ ПАДАЮТ (ну тут совсем что-то из разряда сказки)

Точно такие же гиперболы встречаются и в «Слове о полку Игореве» . Например:

«Русичи червлеными щитами перегородили широкие поля, ища себе честь, а князю славы» или «Войско такое, что можно Волгу веслами расплескать, а Дон вычерпать шлемами».

Среди писателей больше всего гипербол встречается у Николая Васильевича Гоголя . Преувеличения есть практически в каждом его известном произведении. Вот, например, он описывает реку Днепр:

Редкая птица долетит до середины Днепра.
Днепр как дорога без конца в длину и без меры в ширину.

Или использует преувеличения в своих , вкладывая их в уста героев:

В муку бы вас все стер! (Городничий)
Тридцать пять тысяч одних курьеров… Меня сам государственный совет боится. (Хлестаков)

А в «Мертвых душах» есть такие слова: «Бесчисленны человеческие страсти как морские пески».

Гиперболы использует практически любой писатель или поэт. С их помощью они, например, более красочно описывают характер героев произведений или показывают свое авторское отношение к ним.

Причем писатели зачастую не используют уже устоявшиеся выражения, а стараются придумать что-то свое.

Вот еще примеры гипербол в литературе :

1. И ядрам пролетать мешала гора кровавых тел (Лермонтов)
2. Закат пылал во сто сорок солнц (Маяковский)
3. Миллион терзаний (Грибоедов)
4. Порядочный человек за вас за тридевять земель готов убежать (Достоевский)
5. И сосна до звезд достает (Мандельштам)
6. Во сне дворник стал тяжелым как комод (Ильф и Петров)

Примеры гипербол в рекламе

Конечно, мимо такого интересного приема, который позволяет усилить реальное значение слов , не могли пройти и рекламщики. Масса слоганов основана на этом принципе. Ведь задача – привлечь внимание клиента, обещая при этом «золотые горы» и всячески подчеркивая уникальность товара:

1. Вкус на грани возможного (жевательная резинка «Стиморол»)
2. Контроль над стихией (кроссовки «Адидас»)
3. Король салатов (майонез «Оливьез»)

В создании рекламных роликов также часто используется принцип гиперболы. Например, серия знаменитых видео про батончики «Сникерс» со слоганом «Ты не ты, когда голоден». Там, где различные персонажи превращаются в совершенно других людей и начинают творить всякие глупости, и только шоколадный батончик способен вернуть их в привычную русло.

В этих роликах явно гиперболизировано (сильно преувеличено) чувство голода и «чудодейственная» сила самого «Сникерса».

Ну и самый простой пример гипербол, который применяют в рекламе, это выражения типа «самый лучший», «самый стильный», «самый комфортный» и так далее, а про цены, наоборот, говорят «самые низкие».

Вместо заключения

Придать большую выразительность и эмоциональную окраску любому выражению можно не только с помощью гиперболы. Есть в русском языке прием, который является ее полной противоположностью. Он не преувеличивает, а, наоборот, уменьшает значение.

Не успеешь глазом моргнуть, а годы уже пролетели.

Называется такой прием « ». Об этом подробно – в нашей следующей статье.

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога сайт

Вам может быть интересно

Что такое инсинуация: значение слова, характеристика, примеры Многозначные слова - это примеры разных граней русского языка Синекдоха - это пример метонимии в русском языке Фамильярность: значение слова, примеры Профанация - это невежество профанов, которые считают способным оскорблять то, что не доступно их пониманию Что такое риторический вопрос и для чего он предназначен Эвфемизм - это фиговый листок русского языка Аллюзии - это новое с намеком на старое Ассонанс - это единство гласных Диалектизмы - это слова с местным колоритом Литота - это преуменьшение и смягчение для создания образа

Гипербола представляет собой плоскую кривую, для каждой точки которой модуль разности расстояний до двух заданных точек (фокусов гиперболы ) является постоянным. Расстояние между фокусами гиперболы называется фокусным расстоянием и обозначается через \(2c\). Середина отрезка, соединяющего фокусы, называется центром . У гиперболы имеются две оси симметрии: фокальная или действительная ось, проходящая через фокусы, и перпендикулярная ей мнимая ось, проходящая через центр. Действительная ось пересекает ветви гиперболы в точках, которые называются вершинами . Отрезок, соединяющий центр гиперболы с вершиной, называется действительной полуосью и обозначается через \(a\). Мнимая полуось обозначается символом \(b\). Каноническое уравнение гиперболы записывается в виде
\(\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize - \large\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\normalsize = 1\).

Модуль разности расстояний от любой точки гиперболы до ее фокусов является постоянной величиной:
\(\left| {{r_1} - {r_2}} \right| = 2a\),
где \({r_1}\), \({r_2}\) − расстояния от произвольной точки \(P\left({x,y} \right)\) гиперболы до фокусов \({F_1}\) и \({F_2}\), \(a\) − действительная полуось гиперболы.



Уравнения асимптот гиперболы
\(y = \pm \large\frac{b}{a}\normalsize x\)

Соотношение между полуосями гиперболы и фокусным расстоянием
\({c^2} = {a^2} + {b^2}\),
где \(c\) − половина фокусного расстояния, \(a\) − действительная полуось гиперболы, \(b\) − мнимая полуось.

Эксцентриситет гиперболы
\(e = \large\frac{c}{a}\normalsize > 1\)

Уравнения директрис гиперболы
Директрисой гиперболы называется прямая, перпендикулярная ее действительной оси и пересекающая ее на расстоянии \(\large\frac{a}{e}\normalsize\) от центра. У гиперболы − две директрисы, отстоящие по разные стороны от центра. Уравнения директрис имеют вид
\(x = \pm \large\frac{a}{e}\normalsize = \pm \large\frac{{{a^2}}}{c}\normalsize\).

Уравнение правой ветви гиперболы в параметрической форме
\(\left\{ \begin{aligned} x &= a \cosh t \\ y &= b \sinh t \end{aligned} \right., \;\;0 \le t \le 2\pi\),
где \(a\), \(b\) − полуоси гиперболы, \(t\) − параметр.

Общее уравнение гиперболы
где \(B^2 - 4AC > 0\).


Общее уравнение гиперболы, полуоси которой параллельны осям координат
\(A{x^2} + C{y^2} + Dx + Ey + F = 0\),
где \(AC

Равнобочная гипербола
Гипербола называется равнобочной , если ее полуоси одинаковы: \(a = b\). У такой гиперболы асимптоты взаимно перпендикулярны. Если асимптотами являются горизонтальная и вертикальная координатные оси (соответственно, \(y = 0\) и \(x = 0\)), то уравнение равнобочной гиперболы имеет вид
\(xy = \large\frac{{{e^2}}}{4}\normalsize\) или \(y = \large\frac{k}{x}\normalsize\), где \(k = \large\frac{e^2}{4}\normalsize .\)



Параболой называется плоская кривая, в каждой точки которой выполняется следующее свойство: расстояние до заданной точки (фокуса параболы ) равно расстоянию до заданной прямой (директрисы параболы ). Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы и обозначается через \(p\). Парабола имеет единственную ось симметрии, которая пересекает параболу в ее вершине . Каноническое уравнение параболы имеет вид
\(y = 2px\).

Уравнение директрисы
\(x = - \large\frac{p}{2}\normalsize\),


Координаты фокуса
\(F \left({\large\frac{p}{2}\normalsize, 0} \right)\)

Координаты вершины
\(M \left({0,0} \right)\)



Общее уравнение параболы
\(A{x^2} + Bxy + C{y^2} + Dx + Ey + F = 0\),
где \(B^2 - 4AC = 0\).


Уравнение параболы, ось симметрии которой параллельна оси \(Oy\)
\(A{x^2} + Dx + Ey + F = 0\;\left({A \ne 0, E \ne 0} \right) \),
или в эквивалентной форме
\(y = a{x^2} + bx + c,\;\;p = \large\frac{1}{2a}\normalsize\)

Уравнение директрисы
\(y = {y_0} - \large\frac{p}{2}\normalsize\),
где \(p\) − параметр параболы.

Координаты фокуса
\(F\left({{x_0},{y_0} + \large\frac{p}{2}\normalsize} \right)\)

Координаты вершины
\({x_0} = - \large\frac{b}{{2a}}\normalsize,\;\;{y_0} = ax_0^2 + b{x_0} + c = \large\frac{{4ac - {b^2}}}{{4a}}\normalsize\)



Уравнение параболы с вершиной в начале координат и осью симметрии, параллельной оси \(Oy\)
\(y = a{x^2},\;\;p = \large\frac{1}{{2a}}\normalsize\)

Уравнение директрисы
\(y = - \large\frac{p}{2}\normalsize\),
где \(p\) − параметр параболы.

Координаты фокуса
\(F \left({0, \large\frac{p}{2}\normalsize} \right)\)

Координаты вершины
\(M \left({0,0} \right)\)

Исследуя гиперболу с помощью построений, подобных построениям, проведенным для исследования эллипса, мы обнаружим, что гипербола обладает свойствами, аналогичными свойствам эллипса.

Рассечем прямой круговой конус плоскостью б, пересекающей обе его плоскости, т.е. параллельной двум его образующим. В сечении получится гипербола. Проведем через ось ST конуса плоскость АSB, перпендикулярную к плоскости б.

Впишем в конус два шара - один в одну его полость, другой в другую, так чтобы каждый из них касался конической поверхности и секущей плоскости. Пусть первый шар касается плоскости б в точке F 1 и касается конической поверхности по окружности UґVґ. Пусть второй шар касается плоскости б в точке F 2 и касается конической поверхности по окружности UV.

Выберем на гиперболе произвольную точку М. Проведем через нее образующую конуса МS и отметим точки d и D, в которых она коснется первого и второго шаров. Соединим точку М с точками F 1 , F 2 , которые назовем фокусами гиперболы. Тогда МF 1 =Md, так как оба отрезка являются касательными к первому шару, проведенными из точки М. Аналогично МF 2 =MD. Вычитая почленно из первого равенства второе, найдем

МF 1 -МF 2 =Md-MD=dD,

где dD - величина постоянная (как образующую конуса с основаниями UґVґ и UV), не зависящая от выбора точки М на гиперболе. Обозначим через Р и Q точки, в которых прямая F 1 F 2 пересекает гиперболу. Эти точки Р и Q называются вершинами гиперболы. Отрезок РQ называется действительной осью гиперболы. В курсе элементарной геометрии доказывается, что dD=PQ. Поэтому МF 1 -MF 2 =PQ.

Если точка М будет находиться на той ветви гиперболы, около которой расположен фокус F 1 , то МF 2 -MF 1 =PQ. Тогда окончательно получаем МF 1 -MF 2 =PQ.

Модуль разности расстояний произвольной точки М гиперболы от ее фокусов F 1 и F 2 есть величина постоянная, равная длине действительной оси гиперболы.

Уравнение гиперболы

Примем основное свойство гиперболы за ее определение: Гипербола - это геометрическое место точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек F 1 и F 2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная длине ее действительной оси.

Пусть длина отрезка F 1 F 2 =2с, а длина действительной оси равна 2а. Для вывода канонического уравнения гиперболы выберем начало О декартовой системы координат в середине отрезка F 1 F 2 , а оси Ох и Оу направим так, как указано на рисунке 5. Тогда в выбранной системе координат точки F 1 (с, 0) и F 2 (-с, 0). Очевидно, 2а<2с, т.е. а<с. Пусть М (х, у) - точка плоскости, принадлежащая гиперболе. Пусть МF 1 =r 1 , МF 2 =r 2 . Согласно определению гиперболы равенство

r 1 -r 2 =2а (5) является необходимым и достаточным условием расположения точки М (х, у) на данной гиперболе. Используя формулу расстояния между двумя точками, получим

r 1 =, r 2 =. Вернемся к равенству (5):

Возведем в квадрат обе части равенства

(х+с) 2 +у 2 =4а 2 ±4а+(х-с) 2 +у 2

Сокращая, получаем:

2 хс=4а 2 ±4а-2 хс

±4а=4а 2 -4 хс

а 2 х 2 -2а 2 хс+а 2 с 2 +а 2 у 2 =а 4 -2а 2 хс+х 2 с 2

х 2 (с 2 -а 2) - а 2 у 2 = а 2 (с 2 -а 2) (6)

Заметим, что с 2 -а 2 >0. Обозначим с 2 -а 2 =b 2 . Уравнение (6) будет иметь вид: b 2 х 2 -а 2 у 2 =а 2 b 2 . Выполним преобразование, приводящее уравнение гиперболы к каноническому виду, а именно поделим обе части уравнения на а 2 b 2: (7) - каноническое уравнение гиперболы, величины а и b - соответственно действительная и мнимая полуоси гиперболы.

Мы должны убедиться в том, что уравнение (7), полученное путем алгебраических преобразований уравнения (5*), не приобрело новых корней. Для этого достаточно доказать, что для каждой точки М, координаты х и у которой удовлетворяют уравнению (7), величины r 1 и r 2 удовлетворяют соотношению (5). Проводя рассуждения, аналогичные тем, которые были сделаны при выводе формулы эллипса, найдем для r 1 и r 2 следующие выражения:

Таким образом, для рассматриваемой точки М имеем r 1 -r 2 =2а, и поэтому она располагается на гиперболе.